Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, ja, und dann sind wir eingestiegen auf ein neues Kapitel.

Das ist die Analyse des Verzerrungstensors oder der Verzerrungen.

Die kennen Sie im Grunde aus dem zweiten Semester schon.

Insofern ist das ein ganz entspanntes Kapitel mal am Anfang für Sie.

Da oben ist noch mal der Zusammenhang zwischen den Verzerrungen epsilon und dem Verschiebungsfeld u gegeben,

über diesen symmetrischen Gradienten.

Die Koeffizienten sind dann ja diese Ableitung ui,j plus uj,i.

Und wenn ich das eben in einer Matrix anordne,

dann ergibt das gerade die Ihnen bekannten Darstellungen für die Normalverzerrungen,

also die Dehnungen auf der Diagonal dieser Matrix und die Schubverzerrungen oder Scherungen auf den Nebendiagonalen.

Das sind diese gemischten Terme.

Ja, okay, das haben wir nicht gemacht.

Und hier hatten wir insbesondere festgestellt, und das ist vielleicht noch mal ganz nett,

wenn man sich das noch mal in Erinnerung ruft, dass eben diese Koeffizienten eben symmetrisch sind.

Sie ändern sich. Symmetrie bedeutet, ich kann die Reihenfolge der Indizes vertauschen bei so einem zweistufigen Tensor,

dass die Einträge, wo die Indizes i gleich j sind, das sind die Normalverzerrungen,

die messen die Änderung von Längen, von, sag ich mal, eingekratzten Linien in das Material,

wie sich deren Länge eben ändert durch die Deformation, und zwar einfach nach dem klassischen Rezept,

9 minus alt durch alt, also delta u oder delta l zu l, das ist das, was Sie kennen als Verzerrung oder als Dehnung.

Und die Einträge, wo die Indizes nicht gleich sind, das sind die Schubverzerrungen,

und die messen im Wesentlichen die Winkeländerungen zwischen eingekratzten Linien,

so wie das hier unten in diesem kleinen Cartoon da noch angedeutet ist.

Und dann hatten wir auch noch gesagt, dass es gut ist, wenn wir uns eben daran erinnern,

dass es zwei verschiedene Arten von Definitionen gibt für die Schubverzerrungen.

Das eine sind die Ingenieurschubverzerrungen, die sind gerade um einen Faktor 2 größer als die Tensordefinitionen der Schubverzerrungen.

Der Vorteil bei der Tensordefinition ist, dass sich dann die Verzerrungen alle zusammen eben bei Änderung des Koordinatensystems

auch wie ein Tensor vernünftig transformieren, und deswegen wollen wir das benutzen.

Das ist also praktisch die Tensordefinition.

Ja, und geschlossen hatten wir dann mit der Diskussion der Volumensdehnung.

Und dazu können wir uns eben folgendes Bild machen, das hatten wir am Schluss noch ganz schnell

in den letzten fünf Minuten angesprochen, deswegen wiederhole ich es vielleicht hier nochmal ein bisschen ausführlicher.

Hatten wir uns überlegt, wie ändert sich das Volumen von so einem elementaren Volumeselement während der Deformation.

Und ich hoffe, Sie können das hier auf der Leinland-Produktion halbwegs erkennen.

Da haben wir eben sozusagen ein Stückchen Material vor der Deformation,

das nimmt das Volumen D Großv ein und hat eben, und beschreiben wir durch so einen kleinen Kubus mit den Seitenlängen

Dx1, Dx2, Dx3, und dann ist natürlich das Volumen, was dort drin enthalten ist, einfach nur Dx1, Dx2, Dx3.

Da ist noch kein Geheimnis dabei.

Und dann, wenn sich jetzt dieses Volumenelement deformiert, dann werden eben insbesondere alle Seiten länger oder kürzer, jedenfalls gedehnt oder gestaucht.

Und das hatten wir eben festgestellt, das läuft eben über die Normalverzerrung bzw. die Dehnungen,

das waren die Einträge in der Hauptdiagonalen.

Und wenn Sie sich da jetzt das mal angucken, wo da steht Volumen after Deformation, dann stehen da so Terme wie 1 plus epsilon 11 mal Dx1.

Wenn Sie sich nochmal überlegen, epsilon 11, das war die Längenänderung in 1 Richtung bezogen auf die Originallänge.

Dann steht da also im Endeffekt, 1 ist ja einfach Originallänge durch Originallänge, also haben wir Originallänge plus Längenänderung durch Originallänge.

Das gibt also im Endeffekt dann gerade nichts anderes als eben neue Länge durch alte Länge, multipliziert mal den Dx1, ist die alte Länge.

Also diese erste Term da, die erste Klammer mal den Dx1, ist nichts anderes als die neue Kantenlänge nach der Deformation.

Und entsprechend für die anderen Terme ist das dann halt genauso.

Ja, dann können wir das Produkt aus Dx1, Dx2, Dx3 da sozusagen rausziehen und Sie erkennen, dass dann eben das Verhältnis von dem neuen Volumen zu dem alten Volumen gerade gegeben ist,

als dieses Produkt von diesen dreieckigen Klammern 1 plus epsilon 11 und so weiter.

Ja, und hier werden Sie natürlich mit Recht schon sagen, ja wieso, wenn ich mir das Bild angucke,